明史完整版,章八-阿奇小说网

书号:10209 时间:2017/3/26 字数:11088

　　历二

　　▲大统历法一上(法原)

　　造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰⻩⾚道內外度，曰⽩道

周，曰⽇月五星平立定三差，曰里差刻漏。

　　▲句股测望

　　‮京北‬立四丈表，冬至⽇午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太

南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴⽇下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为⽇出地半弧弦。

　　‮京北‬立四丈表，夏至⽇午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太

南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴⽇下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为⽇出地半弧弦。

　　以二至⽇度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为‮京北‬⾚道出地度。以⾚道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为‮京北‬北极出地度。

　　▲弧矢割圆

　　周天经一百二十一度七十五分少。(少不用。)半径六十零度八十七分半。(又为⻩⾚道大弦。)二至⻩⾚道內外半弧背二十四度。(所测就整。)二至⻩⾚道弧矢四度八十四分十二秒。⻩⾚道大句二十三度八十分七十秒。⻩⾚道大股五十六度零二分六十八秒。(半径內减去矢度之数。)

　　割圆求矢术　置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不⾜减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。(⻩⾚道同用。)

　　如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不⾜一秒叶不用，下同。)

　　凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为⻩⾚相求及其內外度之

。(数详后。)

　　▲⻩⾚道差

　　求⻩⾚道各度下⾚道积度术。　置周天半径內减去⻩道矢度，余为⻩⾚道小弦。置⻩⾚道小弦，以⻩⾚道大股乘之(大股见割圆)为实。⻩⾚道大弦(半径)为法。实如法而一，为⻩⾚道小股。直⻩道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为⻩道半背弦差。以差去减⻩⾚道积度，(即⻩道半弧背。)余为⻩道半弧弦。置⻩⾚道半弧弦自之为股幕，⻩⾚道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为⾚道小弦。置⻩⾚道半弧弦，以周天半径(亦为⾚道大弦)乘之为实，以⾚道小弦为法而一，为⾚道半弧弦。置⻩⾚道小股，(亦为⾚道横小句)以⾚道大弦(即半径)乘之为实，以⾚道小弦为法而一，为⾚道横大句，以减半径，余为⾚道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为⾚道半背弦差。以差加⾚道半弧，为⾚道积度。

　　如⻩道半弧背一度，求⾚道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，(即⻩⾚道大弦。)內减⻩道矢八十二秒余六十零度八六六八，为⻩⾚道小弦。置⻩⾚道小弦，以⻩⾚道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以⻩⾚道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为⻩⾚道小股。(又为⾚道小句。)置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为⻩道平半背弦差。置⻩道半弧弦一度，內减⻩道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置⻩道半弧弦一度自之，得一度为股幕。⻩⾚道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八‮四六‬为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八‮四六‬为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为⾚道小弦。置⻩道半弧弦一度，以半径(即⾚道大弦)乘之，得六十零度八七五为实，以⾚道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为⾚道半弧弦。置⻩⾚道小股五十六度零一九二，(又为⾚道小句。)以⾚道大弦(半径)六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以⾚道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为⾚道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，內减⾚道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为⾚道横弧矢。置⾚道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为⾚道背弦差。置⾚道半弧弦一度零八分六十五秒，加⾚道背弦差，为⾚道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。

　　凡求得⾚道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各⻩道度下⾚道积，两数相减，即得⻩⾚道差，乃至后之率。其分后，以⾚道度求⻩道，反此求之，其数并同。

　　▲⻩⾚道相求弧矢诸率立成上

　　(表格略)

　　▲⻩⾚道相求弧矢诸率立成下

　　(表格略)

　　按郭敬创法五端，內一曰⻩道差，此其

率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合于浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载略，又误以⻩道矢度为积差，⻩道矢差为率，今正之。

　　▲割圆弧矢图

　　凡‮圆浑‬中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股內成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，‮圆浑‬之理，斯为密近。

　　平者为⾚道，斜者为⻩道。因二至⻩道⾚之距，生大句股。因各度⻩⾚之距，生小句股。

　　外大圆为⾚道。从北极平视，则⻩道在⾚道內，有⾚道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之⻩道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。

　　按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。

　　▲⻩⾚道內外度

　　推⻩道各度，距⾚道內外及去极远近术。置半径內减去⾚道小弦，余为⾚道二弦差。(又为⻩⾚道小弧矢，又为內外矢，又为股弦差。)置半径內外减去⻩道矢度，余为⻩⾚道小弦，以二至⻩⾚道內外半弧弦乘之为实，以⻩⾚道大弦为法，(即半径。)除之为⻩⾚道小弧弦。(即⻩⾚道內外半弧弦，又为⻩⾚道小句。)置⻩⾚道小弧矢自之，(即⾚道二弦差。)以全径除之，为半背弦差。以差加⻩⾚道小弧弦为⻩⾚道小弧半背，即⻩⾚道內外度。置⻩⾚道內外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太

去北极度分。

　　如冬至后四十四度，求太

去⾚道內外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，內减⻩道四十四度下⾚道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为⻩⾚道小弧矢。(即內外矢。)置半径六十零度八七五，內减⻩道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为⻩⾚道小弦。置⻩⾚道小弦，以二至⻩⾚道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以⻩⾚道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为⻩⾚道小弧弦。(即內外半弧弦。)置⻩⾚道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加⻩⾚道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太

去⾚道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太

去北极度。

　　▲⻩道每度去⾚道內外及去北极立成

　　(表格略)

　　▲⽩道

周

　　推⽩⾚道正

，距⻩⾚道正

北极数。术曰：“置实测⽩道出⼊⻩道內外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出⼊半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分(就整)为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为⽩⾚道正

，距⻩⾚道正

半弧弦。　依法求行半弧背一十四度六十六分，为⽩⾚道正

距⻩⾚道正

极娄数。

　　
译文

　　制定历法的人各有自己的渊源，史书应该详尽采录，使后世有参考的依据。

　　如《太初历》起源于音律，《大衍历》发端于蓍卜，都详细见于本历志。

　　《授时历》以测量检骏推算焉宗旨，祇求与天相合，不牵強附会音律、卦爻。

　　然而它立法的依据．数据的出处，以及⽇晷影长、行星度数，都有完整的书籍。

　　郭守堃、查履谦的传中，有书名可考。

　　《元史》全没有采录，现仅存奎盏的《议录》、《历经》的初稿。

　　后来改变三应率及数据表的数据，和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源，都删去没有记载。

　　使作者的精辟见解湮汝无闻，有见识的人都为此感到道憾。

　　现在

据《大统历通轨》及《历草》等书，稍加编排，首先是历法原理，其次是数据表，再其次是推算。

　　而历法原理的细目有七项，是勾股测望，弧矢割圆，⻩⾚道差，⻩⾚道內外度，⽩道

周，⽇月五星平立定三差，里差刻漏。

　　在‮京北‬立四丈⾼的标尺，冬至⽇正午，测得影长七丈九尺八寸五分。

　　随即用简仪测得太

南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。

　　求得矢度为五度九十一分半。

　　将周天半径，减去矢度，剩余五十四度九十六分为股，就是本地离头顶上太

的度数。

　　用以弦股求勾的方法，求得勾为二十六度十七分六十六秒，就是太

出地的半弧弦。

　　在‮京北‬立四丈⾼的标尺，夏至⽇正午，测得影长一丈一尺七寸一分。

　　随即用简仪测到太

南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。

　　求得矢度为四十三度七十四分又四分之一。

　　将周天半径，减去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地离头顶上太

的度数。

　　用以勾弦求股的方法，求得股为五十八度四十五分半，就是太

出地的半弧弦。

　　将冬至夏至太

南至地平的度数相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为‮京北‬的⾚道出地度数。

　　以⾚道出地度转减周天的四分之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，就是‮京北‬的纬度。

　　周天圆的直径为一百二十一度七十五分又四分之一。

　　四分之一不用。

　　半径为六十度八十七分半。

　　又是⻩道⾚道的大弦。

　　冬至夏至⻩道⾚道內外半弧背为二十四度。

　　所测敷取整数。

　　冬至夏至⻩道⾚道弧矢为四度八十四分八十二秒。

　　⻩道⾚道大勾为二十三度八十分七十秒。

　　⻩道

道大股为五十六度零二分六十八秒。

　　半径內减去矢度。

　　割圆求矢的方法。

　　将半弧背的度数自乘，就是半弧背的幂。

　　将周天圆的直径自乘，就是上廉。

　　上廉乘半弧背的幂，就是正实。

　　上廉乘以天圆直径，就是益从方。

　　半弧背乘以二，乘以天圆直径，就是下廉。

　　用初商乘上廉，再用益从方减去这个得数，余数就是从方。

　　将初商自乘并用下廉减自乘的得数，余数乘以初商，就是从廉。

　　从方和从廉相加，就是下法。

　　下法乘以初商，再用正寅减去此数，如正赏不够减，就改用初商。

　　正实还有余数，依次用商除下去。

　　将初商乘以二，与次商相加并乘以上廉，再用益从方减去乘积，余数为从方。

　　将初商和次商相加并自乘，又将初商自乘，然后两数相加，再用下廉城此数，余数用初商的二倍加次商舆之相乘，就是从廉。

　　从方和从廉相加，就是下法。

　　下法乘以次商，再用余实碱此数，从而确定次商。

　　如还有余数，用同样的方法计算，商的得敷就是矢的度数。

　　⻩道⾚道同用这一度数。

　　例如以半弧背一度来求矢的度数。

　　方法是：将半弧背一度自乘，得敷为一度，是半弧背的幂。

　　将天圆直径一百二十一度又四分之三自乘，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。

　　上廉乘以半弧背的幂，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正实。

　　上廉又乘天圆直径，得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益从方。

　　半弧背一度加倍，得二度，乘以天圆直径得二百四十三度五十分，就是下廉。

　　初商八十秒。

　　将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五减此数，余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是从方。

　　又将初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉减此敷，余二百四十三度四九九九三六。

　　仍然用八十秒乘此余数，得一度九四七九九九四八八，就是从廉。

　　将从廉和从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。

　　下法乘以初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正实蔵去此数，得余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。

　　次商二秒。

　　将初商八十秒加倍，得一分六十秒。

　　加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益从方减此数，余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，就是从方。

　　又将初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。

　　加上初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，用下廉减此敷，余二百四十三度四九九八六九。

　　乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是从廉。

　　将从廉和从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。

　　将下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余实减此敷，还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。

　　不⾜一秒舍弃不用，以下同。

　　求得矢的度数共八十二秒，剩余部分继续用上列方法计算。

　　求得矢的度数，作为⻩道⾚道相求及求二者內外度的

。

　　数据详见后文。

　　求⻩道各度之下⾚道度数的方法。

　　将天圆的半径减去⻩道矢的度数，余数焉⻩道⾚道的小弦。

　　将⻩道⾚道的小弦，乘以⻩道⾚道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。

　　⻩道⾚道的大弦天圆半径作为除数。

　　两数相除，就是⻩道⾚道的小股。

　　将⻩道的矢自乘作为被除数，以天圆的直径作为除数，两数相除，就是⻩道半背弦差。

　　用⻩道积度即⻩道半弧背减这个差，余数就是⻩道半弧弦。

　　将⻩道半弧弦自乘作为股的幂，⻩道⾚道小股自乘作为勾的幂，两个幂相加，开平方，就是⾚道小弦。

　　将⻩道的半弧弦，乘以天圆的半径也是⾚道大弦作为被除数，以⾚遒小弦作为除数与之相除，就是⾚道的半弧弦。

　　将⻩道⾚道的小股，也是⾚道的横小勾。

　　用⾚道大弦即半径相乘作为被除数，以⾚道小弦作为除数与之相除，就是⾚道横大勾，再用半径减⾚道横大勾，余数就是⾚道横弧矢。

　　将横弧矢自乘作为被除数，以直径作为除数与之相除，就是⾚道的半背弦差。

　　以半背弦差加⾚道半弧弦，就是⾚道的度数。

　　如⻩道半弧背为一度，求⾚道的度数。

　　方法是：将半径六十度八十七分五十秒，即⻩道⾚道大弦。

　　⻩道的矢八十二秒，余六十度八六六八，就是⻩道⾚道小弦。

　　将⻩道⾚道小弦，乘以⻩道⾚道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以⻩道⾚道大弦六十度八七五作为除数，两敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是⻩道⾚道的小股。

　　又是⾚道小勾。

　　将矢的度数八十二秒自乘，得六十七微，以天圆直径一百二十一度七五作为除数，舆之相除得五十五纤，就是⻩道半背弦差。

　　将⻩道半弧背一度，减⻩道半背弦差，余数就是半弧弦。

　　因半背弦差在一微以下，所以不减，就用一度作为半弧弦。

　　将⻩道半弧弦一度自乘，得一度作为股的幂。

　　⻩道⾚道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八‮四六‬作为勾的幂。

　　两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八‮四六‬焉弦实，开平方，得五十六度零二八一，就是⾚道小弦。

　　将⾚道半弧弦一度，乘以天圆半径，即⾚道大弦。

　　得六十度八七五作为被除数，以⾚道小弦五十六度零二八一作为除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是⾚道的半弧弦。

　　将⻩道⾚道的小股五十六度零一九二，又是⾚道小勾。

　　乘以⾚道大弦天圆半径六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作为被除数，以⾚道小弦作为除数相除，得六十度八十六分五十三秒，就是⾚道横大勾。

　　将天圆半径六十度八十七分五十秒，减⾚道大勾六十度八十六分五十三秒，余九十七秒，就是⾚道横弧矢。

　　将⾚道横弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圆直径作除数舆之相除，得七十七纤，就是⾚道背弦差。

　　将⾚道半弧弦一度零八分六十五秒，加⾚道背弦差，就是⾚道的度数。

　　现在⾚道背弦差在一微以下，舍弃不加，就用半弧弦作为度数。

　　共求得⾚道度数为一度零八分六十五秒。

　　其余度数各自用上面的方法，求到各⻩道度数下的⾚道度数，两敷相减，就得到⻩道⾚道差，这是冬至夏至后的比率。

　　舂分秋分以后，以⾚道度数求⻩道，反过来相求，数据都相同。

　　按郭守敬创立的新方法有五条，其中一条是⻩道⾚道差，这就是它的数据。

　　旧方法用一百零一度相减相乘。

　　《授时历》创立新方法，用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的內容，推求⻩道⾚道的差敷，合乎天象的原理，比古代更严密。

　　只是《至元历经》的记载很筒略，又误以⻩道矢度为积差，⻩道矢差为差率，现在予以纠正。

　　凡是圆周从中间剖开，就成了半圆。

　　任意切分半圆的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。

　　切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。

　　因为弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半径减矢的余数为股，半径为弦。

　　勾股內又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平侧可以互相利用，圆周的道理，这就很切近了。

　　平线是⾚道，斜线是⻩道。

　　因为冬至夏至⻩道⾚道的距离，生出大勾股。

　　因为各度⻩道⾚道的距离，生出小勾股。

　　外面的大圆是⾚道。

　　从北极俯视，⻩道在⾚道之內，有⾚道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。

　　又各有舆它们相应的⻩道半弧弦，以此生出小勾股。

　　这二者可以互相推求。

　　按旧史书没有图，然而表也是和圆同类的。

　　现在勾股割圆弧矢的方法，实在是历算家测算的

本。

　　没有图不能说明问题，因而保留其重要的几幅。

　　推算⻩道各度距离⾚道的內外度数及距离北极远近的方法。

　　将天圆半径减去⾚道小弦，余敷就是⾚道两个弦的差。

　　又是⻩道⾚道小弧的矢，又是內外矢，又是股弦差。

　　将半径减去⻩道矢的度数，余数就是⻩道⾚道的小弦。

　　将冬至夏至⻩道⾚道內外半弧弦舆⻩道⾚道小弦相乘作为被除数，以⻩道⾚道大弦作为除数，即半径。

　　舆之相除就是⻩道⾚道小弧弦。

　　就是⻩道⾚道內外半弧弦，又是⻩道⾚道小勾。

　　将⻩道⾚道小弧矢自乘，即⾚道两弦的差。

　　除以直径，就是半背弦差。

　　用这个差加⻩道⾚道小弧弦就是⻩道⾚道小弧半背，也就是⻩道在⾚道內外的度数。

　　

据⻩道在⾚道內外的度数，如果在盈初缩末象限表內就加，在缩初盈末象限表內就减，都加减象限表內的度数，就得到太

距离北极的度数。

　　如冬至后⻩道四十四度，求太

距离⾚道內外的度数及距离北极的度数。

　　方法是：将天圆半径六十度八十七分半，减⻩道四十四度时⾚道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，就是⻩道⾚道小弧矢。

　　即內外矢。

　　将半径六十度八七分半，减⻩道四十四度时的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十分六十八秒，就是⻩道⾚道小弦。

　　将⻩道⾚道小弦，用冬至夏至时⻩道⾚道內外半弧弦二十三度七十一分舆之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，以⻩道⾚道大弦六十度八七五作为除数舆之相除，得十七度二十五分六十九秒，即⻩道⾚道小弧弦。

　　即內外半弧弦。

　　将⻩道⾚道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用直径一百二十一度七十五分与之相除，得五分二十一秒就是背弦差。

　　用背弦差加⻩道⾚道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前后⻩道四十四度时，太

距离⾚道的內外度。

　　将象限九十一度三十一分四十三秒七五，加內外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至后⻩道四十四度时太

距离北极的度数。

　　推算⽩道和⾚道的降

点距离⻩道⾚道降

点的最大数值。

　　方法是：将寅测到的⽩道出⼊⻩道內外的六度作为半弧弦，又是大圆的弦矢，又是股和弦的差。

　　将半径六十度八七五自乘，得三⼲七百零五度七六五六二五，用矢六度与之相除，得六百一十七度六十三分为股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圆直径。

　　按法则求得容阔五度七十分，又是小勾。

　　又以冬至夏至时出⼊半弧弦二十三度七十一分作为大勾。

　　以大勾作除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言为度差。

　　以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半长。

　　以半径六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作为被除数，以大勾二十三度七十一分焉除数舆之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是⽩道⾚道降

点距离⻩道⾚道降

点的半弧弦。

　　按法则求得半弧背十四度六十六贫，就是⽩道⾚道降

点距离⻩道⾚道降

点的最大敷值。

阿奇小说网 > 历史小说 > 明史作者:张廷玉等	书号:10209 时间:2017/3/26 字数:11088
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历二　　▲大统历法一上(法原) 　　造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰⻩⾚道內外度，曰⽩道周，曰⽇月五星平立定三差，曰里差刻漏。　　▲句股测望　　‮京北‬立四丈表，冬至⽇午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴⽇下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为⽇出地半弧弦。　　‮京北‬立四丈表，夏至⽇午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴⽇下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为⽇出地半弧弦。　　以二至⽇度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为‮京北‬⾚道出地度。以⾚道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为‮京北‬北极出地度。　　▲弧矢割圆　　周天经一百二十一度七十五分少。(少不用。)半径六十零度八十七分半。(又为⻩⾚道大弦。)二至⻩⾚道內外半弧背二十四度。(所测就整。)二至⻩⾚道弧矢四度八十四分十二秒。⻩⾚道大句二十三度八十分七十秒。⻩⾚道大股五十六度零二分六十八秒。(半径內减去矢度之数。) 　　割圆求矢术　置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不⾜减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。(⻩⾚道同用。) 　　如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不⾜一秒叶不用，下同。) 　　凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为⻩⾚相求及其內外度之。(数详后。) 　　▲⻩⾚道差　　求⻩⾚道各度下⾚道积度术。　置周天半径內减去⻩道矢度，余为⻩⾚道小弦。置⻩⾚道小弦，以⻩⾚道大股乘之(大股见割圆)为实。⻩⾚道大弦(半径)为法。实如法而一，为⻩⾚道小股。直⻩道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为⻩道半背弦差。以差去减⻩⾚道积度，(即⻩道半弧背。)余为⻩道半弧弦。置⻩⾚道半弧弦自之为股幕，⻩⾚道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为⾚道小弦。置⻩⾚道半弧弦，以周天半径(亦为⾚道大弦)乘之为实，以⾚道小弦为法而一，为⾚道半弧弦。置⻩⾚道小股，(亦为⾚道横小句)以⾚道大弦(即半径)乘之为实，以⾚道小弦为法而一，为⾚道横大句，以减半径，余为⾚道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为⾚道半背弦差。以差加⾚道半弧，为⾚道积度。　　如⻩道半弧背一度，求⾚道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，(即⻩⾚道大弦。)內减⻩道矢八十二秒余六十零度八六六八，为⻩⾚道小弦。置⻩⾚道小弦，以⻩⾚道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以⻩⾚道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为⻩⾚道小股。(又为⾚道小句。)置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为⻩道平半背弦差。置⻩道半弧弦一度，內减⻩道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置⻩道半弧弦一度自之，得一度为股幕。⻩⾚道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八‮四六‬为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八‮四六‬为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为⾚道小弦。置⻩道半弧弦一度，以半径(即⾚道大弦)乘之，得六十零度八七五为实，以⾚道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为⾚道半弧弦。置⻩⾚道小股五十六度零一九二，(又为⾚道小句。)以⾚道大弦(半径)六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以⾚道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为⾚道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，內减⾚道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为⾚道横弧矢。置⾚道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为⾚道背弦差。置⾚道半弧弦一度零八分六十五秒，加⾚道背弦差，为⾚道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。　　凡求得⾚道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各⻩道度下⾚道积，两数相减，即得⻩⾚道差，乃至后之率。其分后，以⾚道度求⻩道，反此求之，其数并同。　　▲⻩⾚道相求弧矢诸率立成上　　(表格略) 　　▲⻩⾚道相求弧矢诸率立成下　　(表格略) 　　按郭敬创法五端，內一曰⻩道差，此其率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合于浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载略，又误以⻩道矢度为积差，⻩道矢差为率，今正之。　　▲割圆弧矢图　　凡‮圆浑‬中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股內成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，‮圆浑‬之理，斯为密近。　　平者为⾚道，斜者为⻩道。因二至⻩道⾚之距，生大句股。因各度⻩⾚之距，生小句股。　　外大圆为⾚道。从北极平视，则⻩道在⾚道內，有⾚道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之⻩道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。　　按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。　　▲⻩⾚道內外度　　推⻩道各度，距⾚道內外及去极远近术。置半径內减去⾚道小弦，余为⾚道二弦差。(又为⻩⾚道小弧矢，又为內外矢，又为股弦差。)置半径內外减去⻩道矢度，余为⻩⾚道小弦，以二至⻩⾚道內外半弧弦乘之为实，以⻩⾚道大弦为法，(即半径。)除之为⻩⾚道小弧弦。(即⻩⾚道內外半弧弦，又为⻩⾚道小句。)置⻩⾚道小弧矢自之，(即⾚道二弦差。)以全径除之，为半背弦差。以差加⻩⾚道小弧弦为⻩⾚道小弧半背，即⻩⾚道內外度。置⻩⾚道內外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太去北极度分。　　如冬至后四十四度，求太去⾚道內外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，內减⻩道四十四度下⾚道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为⻩⾚道小弧矢。(即內外矢。)置半径六十零度八七五，內减⻩道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为⻩⾚道小弦。置⻩⾚道小弦，以二至⻩⾚道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以⻩⾚道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为⻩⾚道小弧弦。(即內外半弧弦。)置⻩⾚道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加⻩⾚道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太去⾚道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太去北极度。　　▲⻩道每度去⾚道內外及去北极立成　　(表格略) 　　▲⽩道周　　推⽩⾚道正，距⻩⾚道正北极数。术曰：“置实测⽩道出⼊⻩道內外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出⼊半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分(就整)为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为⽩⾚道正，距⻩⾚道正半弧弦。　依法求行半弧背一十四度六十六分，为⽩⾚道正距⻩⾚道正极娄数。　　译文　　制定历法的人各有自己的渊源，史书应该详尽采录，使后世有参考的依据。　　如《太初历》起源于音律，《大衍历》发端于蓍卜，都详细见于本历志。　　《授时历》以测量检骏推算焉宗旨，祇求与天相合，不牵強附会音律、卦爻。　　然而它立法的依据．数据的出处，以及⽇晷影长、行星度数，都有完整的书籍。　　郭守堃、查履谦的传中，有书名可考。　　《元史》全没有采录，现仅存奎盏的《议录》、《历经》的初稿。　　后来改变三应率及数据表的数据，和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源，都删去没有记载。　　使作者的精辟见解湮汝无闻，有见识的人都为此感到道憾。　　现在据《大统历通轨》及《历草》等书，稍加编排，首先是历法原理，其次是数据表，再其次是推算。　　而历法原理的细目有七项，是勾股测望，弧矢割圆，⻩⾚道差，⻩⾚道內外度，⽩道周，⽇月五星平立定三差，里差刻漏。　　在‮京北‬立四丈⾼的标尺，冬至⽇正午，测得影长七丈九尺八寸五分。　　随即用简仪测得太南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。　　求得矢度为五度九十一分半。　　将周天半径，减去矢度，剩余五十四度九十六分为股，就是本地离头顶上太的度数。　　用以弦股求勾的方法，求得勾为二十六度十七分六十六秒，就是太出地的半弧弦。　　在‮京北‬立四丈⾼的标尺，夏至⽇正午，测得影长一丈一尺七寸一分。　　随即用简仪测到太南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。　　求得矢度为四十三度七十四分又四分之一。　　将周天半径，减去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地离头顶上太的度数。　　用以勾弦求股的方法，求得股为五十八度四十五分半，就是太出地的半弧弦。　　将冬至夏至太南至地平的度数相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为‮京北‬的⾚道出地度数。　　以⾚道出地度转减周天的四分之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，就是‮京北‬的纬度。　　周天圆的直径为一百二十一度七十五分又四分之一。　　四分之一不用。　　半径为六十度八十七分半。　　又是⻩道⾚道的大弦。　　冬至夏至⻩道⾚道內外半弧背为二十四度。　　所测敷取整数。　　冬至夏至⻩道⾚道弧矢为四度八十四分八十二秒。　　⻩道⾚道大勾为二十三度八十分七十秒。　　⻩道道大股为五十六度零二分六十八秒。　　半径內减去矢度。　　割圆求矢的方法。　　将半弧背的度数自乘，就是半弧背的幂。　　将周天圆的直径自乘，就是上廉。　　上廉乘半弧背的幂，就是正实。　　上廉乘以天圆直径，就是益从方。　　半弧背乘以二，乘以天圆直径，就是下廉。　　用初商乘上廉，再用益从方减去这个得数，余数就是从方。　　将初商自乘并用下廉减自乘的得数，余数乘以初商，就是从廉。　　从方和从廉相加，就是下法。　　下法乘以初商，再用正寅减去此数，如正赏不够减，就改用初商。　　正实还有余数，依次用商除下去。　　将初商乘以二，与次商相加并乘以上廉，再用益从方减去乘积，余数为从方。　　将初商和次商相加并自乘，又将初商自乘，然后两数相加，再用下廉城此数，余数用初商的二倍加次商舆之相乘，就是从廉。　　从方和从廉相加，就是下法。　　下法乘以次商，再用余实碱此数，从而确定次商。　　如还有余数，用同样的方法计算，商的得敷就是矢的度数。　　⻩道⾚道同用这一度数。　　例如以半弧背一度来求矢的度数。　　方法是：将半弧背一度自乘，得敷为一度，是半弧背的幂。　　将天圆直径一百二十一度又四分之三自乘，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。　　上廉乘以半弧背的幂，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正实。　　上廉又乘天圆直径，得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益从方。　　半弧背一度加倍，得二度，乘以天圆直径得二百四十三度五十分，就是下廉。　　初商八十秒。　　将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五减此数，余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是从方。　　又将初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉减此敷，余二百四十三度四九九九三六。　　仍然用八十秒乘此余数，得一度九四七九九九四八八，就是从廉。　　将从廉和从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。　　下法乘以初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正实蔵去此数，得余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。　　次商二秒。　　将初商八十秒加倍，得一分六十秒。　　加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益从方减此数，余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，就是从方。　　又将初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。　　加上初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，用下廉减此敷，余二百四十三度四九九八六九。　　乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是从廉。　　将从廉和从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。　　将下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余实减此敷，还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。　　不⾜一秒舍弃不用，以下同。　　求得矢的度数共八十二秒，剩余部分继续用上列方法计算。　　求得矢的度数，作为⻩道⾚道相求及求二者內外度的。　　数据详见后文。　　求⻩道各度之下⾚道度数的方法。　　将天圆的半径减去⻩道矢的度数，余数焉⻩道⾚道的小弦。　　将⻩道⾚道的小弦，乘以⻩道⾚道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。　　⻩道⾚道的大弦天圆半径作为除数。　　两数相除，就是⻩道⾚道的小股。　　将⻩道的矢自乘作为被除数，以天圆的直径作为除数，两数相除，就是⻩道半背弦差。　　用⻩道积度即⻩道半弧背减这个差，余数就是⻩道半弧弦。　　将⻩道半弧弦自乘作为股的幂，⻩道⾚道小股自乘作为勾的幂，两个幂相加，开平方，就是⾚道小弦。　　将⻩道的半弧弦，乘以天圆的半径也是⾚道大弦作为被除数，以⾚遒小弦作为除数与之相除，就是⾚道的半弧弦。　　将⻩道⾚道的小股，也是⾚道的横小勾。　　用⾚道大弦即半径相乘作为被除数，以⾚道小弦作为除数与之相除，就是⾚道横大勾，再用半径减⾚道横大勾，余数就是⾚道横弧矢。　　将横弧矢自乘作为被除数，以直径作为除数与之相除，就是⾚道的半背弦差。　　以半背弦差加⾚道半弧弦，就是⾚道的度数。　　如⻩道半弧背为一度，求⾚道的度数。　　方法是：将半径六十度八十七分五十秒，即⻩道⾚道大弦。　　⻩道的矢八十二秒，余六十度八六六八，就是⻩道⾚道小弦。　　将⻩道⾚道小弦，乘以⻩道⾚道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以⻩道⾚道大弦六十度八七五作为除数，两敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是⻩道⾚道的小股。　　又是⾚道小勾。　　将矢的度数八十二秒自乘，得六十七微，以天圆直径一百二十一度七五作为除数，舆之相除得五十五纤，就是⻩道半背弦差。　　将⻩道半弧背一度，减⻩道半背弦差，余数就是半弧弦。　　因半背弦差在一微以下，所以不减，就用一度作为半弧弦。　　将⻩道半弧弦一度自乘，得一度作为股的幂。　　⻩道⾚道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八‮四六‬作为勾的幂。　　两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八‮四六‬焉弦实，开平方，得五十六度零二八一，就是⾚道小弦。　　将⾚道半弧弦一度，乘以天圆半径，即⾚道大弦。　　得六十度八七五作为被除数，以⾚道小弦五十六度零二八一作为除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是⾚道的半弧弦。　　将⻩道⾚道的小股五十六度零一九二，又是⾚道小勾。　　乘以⾚道大弦天圆半径六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作为被除数，以⾚道小弦作为除数相除，得六十度八十六分五十三秒，就是⾚道横大勾。　　将天圆半径六十度八十七分五十秒，减⾚道大勾六十度八十六分五十三秒，余九十七秒，就是⾚道横弧矢。　　将⾚道横弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圆直径作除数舆之相除，得七十七纤，就是⾚道背弦差。　　将⾚道半弧弦一度零八分六十五秒，加⾚道背弦差，就是⾚道的度数。　　现在⾚道背弦差在一微以下，舍弃不加，就用半弧弦作为度数。　　共求得⾚道度数为一度零八分六十五秒。　　其余度数各自用上面的方法，求到各⻩道度数下的⾚道度数，两敷相减，就得到⻩道⾚道差，这是冬至夏至后的比率。　　舂分秋分以后，以⾚道度数求⻩道，反过来相求，数据都相同。　　按郭守敬创立的新方法有五条，其中一条是⻩道⾚道差，这就是它的数据。　　旧方法用一百零一度相减相乘。　　《授时历》创立新方法，用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的內容，推求⻩道⾚道的差敷，合乎天象的原理，比古代更严密。　　只是《至元历经》的记载很筒略，又误以⻩道矢度为积差，⻩道矢差为差率，现在予以纠正。　　凡是圆周从中间剖开，就成了半圆。　　任意切分半圆的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。　　切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。　　因为弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半径减矢的余数为股，半径为弦。　　勾股內又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平侧可以互相利用，圆周的道理，这就很切近了。　　平线是⾚道，斜线是⻩道。　　因为冬至夏至⻩道⾚道的距离，生出大勾股。　　因为各度⻩道⾚道的距离，生出小勾股。　　外面的大圆是⾚道。　　从北极俯视，⻩道在⾚道之內，有⾚道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。　　又各有舆它们相应的⻩道半弧弦，以此生出小勾股。　　这二者可以互相推求。　　按旧史书没有图，然而表也是和圆同类的。　　现在勾股割圆弧矢的方法，实在是历算家测算的本。　　没有图不能说明问题，因而保留其重要的几幅。　　推算⻩道各度距离⾚道的內外度数及距离北极远近的方法。　　将天圆半径减去⾚道小弦，余敷就是⾚道两个弦的差。　　又是⻩道⾚道小弧的矢，又是內外矢，又是股弦差。　　将半径减去⻩道矢的度数，余数就是⻩道⾚道的小弦。　　将冬至夏至⻩道⾚道內外半弧弦舆⻩道⾚道小弦相乘作为被除数，以⻩道⾚道大弦作为除数，即半径。　　舆之相除就是⻩道⾚道小弧弦。　　就是⻩道⾚道內外半弧弦，又是⻩道⾚道小勾。　　将⻩道⾚道小弧矢自乘，即⾚道两弦的差。　　除以直径，就是半背弦差。　　用这个差加⻩道⾚道小弧弦就是⻩道⾚道小弧半背，也就是⻩道在⾚道內外的度数。　　据⻩道在⾚道內外的度数，如果在盈初缩末象限表內就加，在缩初盈末象限表內就减，都加减象限表內的度数，就得到太距离北极的度数。　　如冬至后⻩道四十四度，求太距离⾚道內外的度数及距离北极的度数。　　方法是：将天圆半径六十度八十七分半，减⻩道四十四度时⾚道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，就是⻩道⾚道小弧矢。　　即內外矢。　　将半径六十度八七分半，减⻩道四十四度时的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十分六十八秒，就是⻩道⾚道小弦。　　将⻩道⾚道小弦，用冬至夏至时⻩道⾚道內外半弧弦二十三度七十一分舆之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，以⻩道⾚道大弦六十度八七五作为除数舆之相除，得十七度二十五分六十九秒，即⻩道⾚道小弧弦。　　即內外半弧弦。　　将⻩道⾚道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用直径一百二十一度七十五分与之相除，得五分二十一秒就是背弦差。　　用背弦差加⻩道⾚道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前后⻩道四十四度时，太距离⾚道的內外度。　　将象限九十一度三十一分四十三秒七五，加內外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至后⻩道四十四度时太距离北极的度数。　　推算⽩道和⾚道的降点距离⻩道⾚道降点的最大数值。　　方法是：将寅测到的⽩道出⼊⻩道內外的六度作为半弧弦，又是大圆的弦矢，又是股和弦的差。　　将半径六十度八七五自乘，得三⼲七百零五度七六五六二五，用矢六度与之相除，得六百一十七度六十三分为股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圆直径。　　按法则求得容阔五度七十分，又是小勾。　　又以冬至夏至时出⼊半弧弦二十三度七十一分作为大勾。　　以大勾作除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言为度差。　　以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半长。　　以半径六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作为被除数，以大勾二十三度七十一分焉除数舆之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是⽩道⾚道降点距离⻩道⾚道降点的半弧弦。　　按法则求得半弧背十四度六十六贫，就是⽩道⾚道降点距离⻩道⾚道降点的最大敷值。